Tablas lógicas.

Construcción de tablas lógicas para la solución de problemas.

En esta clase de problemas, se maneja otra tipo de variables, la variable lógica, esta tiene dos características fundamentales:

1. La primera expresa una presencia o ausencia de una relación cierta entre dos variables y por tanto sólo puede tomar los valores verdadero y falso.

2. Son mutuamente excluyentes, es decir, que una vez que se da una relación sienta entre los valores de dos variables, no puede ocurrir otra relación verdadera entre los valores de ese mismo par de variables.

Esta estrategia se utiliza para resolver problemas de dos variables cualitativas, sobre las cuales pueden definirse una variable lógica con base a la verdad o falsedad de las relaciones entre las variables cualitativas.

Establecimiento de la existencia o no de una relación entre variables.

A través de variados procesos de pensamiento se establece la relación o no entre las variables, cómo por ejemplo, se emplea la deducción, la inducción, la comparación, las inferencias así como la intuición o la exclusión de posibilidades, se trata de lograr concientización de las estrategias mediante el analisis y verbalización de los procesos utilizados para llevar a cabo la representación.

Pasos de la estrategia para resolver problemas de tablas lógicas.

1. Leer el problema. 

2. Identificar variables y la pregunta del problema.

3. Elaborar la tabla. 

4. Leer el problema paso a paso, anotar y postergar la información.

5. Inferir otras relaciones a partir de la relación que se tiene de los datos y de la relación mutuamente excluyente.

6. Reeler el problema para relacionar los datos portegados.

7. Verificar la congruencia del razonamiento que se siguió.

Relaciones mutuamente excluyentes.

Una característica importante de las tablas lógicas en la relación mutuamente excluyente esta se observa cuando determinamos la operación entre dos variables que es correcta y verdadera, esta relación excluye de las otras variables la posibilidad que se establezca una relación con ellas y que también se verdaderas.

Por ejemplo:

Si decimos que Pablo trabaja como vendedor de libros y que a Lucía le gusta la lectura y queremos determinar que compró Lucia a Pablo en tres variables, que son libros, pan o ropa encontramos la relación entre lectura y libros, entonces se excluye toda posibilidad de que haya otra variable y que también sea cierta. 

Información incompleta.

Cuando hablamos de información incompleta en un problema nos referimos a que dentro del texto no se encuentran todos los datos, elementos o variables para poder resolver el problema, esto no implica que el problema no tenga solución, simplemente que hay que emplear la mente lógica para deducir que elementos o variables me hacen falta y extraerlos a partir de la información que si tengo.

Es muy fácil expresar "a este problema le falta datos" o "No se puede resolver" o pide esto y no tiene la información y en ocasiones los alumnos dan por hecho que el problema esta mal redactado o que esta incompleto, pero no es así. Sólo hay que ser más observador y poner en práctica nuestro pensamiento inductivo deductivo, así como actuar de manera sistemática para descubrir los datos faltantes. 

Ejemplo: 

Luis, Pedro y Juan tienen Jugos diferentes en el receso, los jugos son de piña, melón y mora, Luis no tomo jugo de piña, tampoco de Mora, Pedro no tomo jugo de Mora. ¿De qué sabor tomó Juan su jugo? 

Circuito de Euler y circuitos de Hamilton.

Sea G un grafo sin vértices aislados. Un circuito que tiene todas las aristas de G recibe el nombre de Circuito de Euler. Un circuito euleriano es una trayectoria que empieza y termina en el mismo vertice y recorre cada arista exactamente una vez.

Teorema.

Si G es un grafo contiene un circuito euteriano si y sólo si:

• G es un conexo.
• Cada vértice de G es de grado par.

Entonces si G (un grafo) tiene un grado de vértice de grado 1 no puede tener circuitos (x - x  no se repite arista). Tampoco tiene grado impar porque no se puede salir y entrar en n par de veces 

Trayectoria de Euler.

 Debe comenzar en un vertice de grado impar y termina en otro.

Teorema de Euler.

a) Si una gráfica tiene más de dos vértices de grado impar, entonces no puede tener una trayectoria d Euler.

b)  Si una gráfica conexa tiene exactamente dos vértices de grado par, entonces tiene por lo menos una trayectoria de Euler. Cualquier circuito de Euler debe iniciar en uno de los vértices y terminar en el otro.

Grado de un vértice.

a) El grado de un vértice  es el número de aristas que se encuentran en ese mismo vértice.

b)Un circuito es una trayectoria que inicia y termina en el mismo vértice.

c) Una gráfica es conexa si cualquiera de sus vértices se pueden unir por una trayectoria. Si una gráfica no es conexa se le denominará como disconexa, a los pedazos de unas gráficas se les llamará componentes. 

 

Grafos.

Es una estructura que posee elementos de una sola estructura relacionados por vínculos de una misma base, a estos elementos llamaremos puntos y lineas.

El diagrama representativo de un grafo es una figura constituida por puntos unidos entre sí, por segmentos o flechas. Los diagramas de flujos y los árboles son casos particulares de grafos.

Dirección.

En ciertos gráficos se indica la dirección de las líneas con una flecha originándose hacía los grafos no orientados.

Los gráficos en los que las lineas no tienen dirección se denominan grafos norentados.

Arista.

Linea que conecta dos puntos en un grafo norentado.

Arco.

Linea con dirección que conecta dos puntos en un grafo orientado.

Binomio

Se utiliza la formula: a² + 2 ab + b², por ejemplo:

(x + 4)² = x² + 8x + 16

(3ab - 5x²)² = 9a²b² - 30 abx² + 25x^4.

Permutaciones y combinaciones.

Selecciones ordenadas y no ordenadas.
Comenzaremos con un recorrido por las combinatoria elemental contando de cuantas maneras diferentes se pueden seleccionar un cierto número de elementos de un conjunto. Para contar este número es preciso fijar los criterios que que diferencian una selección de otra. Aquí tendremos en cuanta dos tipos de criterio: El orden de los elementos y el número de veces que puede aparecer cada uno. Si distinguimos dos selecciones cuando tienen elementos diferentes o bien, cuando los elementos aparecen en un orden diferente hablamos de permutaciónes. En cambio no distinguimos dos selecciones que sólo difieren en la ordenación de sus elementos, entonces hablaremos de combinaciones. Por otra parte si cada elemento puede aparecer como mucho una vez  hablaremos de selecciones sin repetición, mientras que si no hay esta restricción hablaremos de selecciones de repetición.

Por ejemplo con el conjunto x={1, 2, 3, 4} podemos formar 16 permutaciones con repetición de dos elemntos.
 11   12   13   14                                                             Pueden repetirse dos de los elementos
 21   22   23   24                                                             pero sólo una vez sin importar el orden.
 31   32   33   34
 41   42   43   44

12 permutaciones sin repetición de dos elementos.
 11   12   13   14                                                             No pueden repetirse  los elementos y no
 21   22   23   24                                                             importa el orden de los elementos..
 31   32   33   34
 41   42   43   44

10 combinaciones con repetición de dos elementos.
11   12   13   14                                                             Se repiten los elementos una vez, pero 
    22   23   24                                                                 si importa el orden de estos.
        33   34
           44

6 combinaciones sin repetición, sin repetición de dos elementos.
 12   13   14                                                             No se repiten los elementos.
      22   24                                                            
         34

 Ordenaciones.

Permutación con repetición.

nPr = n^r

Permutación sin repetición.

nPr =      n!   

          (n - r) !

Combinación con repetición.

nCr = (n + r - 1)!

            r! (n - 1)   

Combinación sin repetición.

nCr =       n!       
           r! (n - 1)!

Principios básicos.

Factorización. 

Es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática en forma de producto, por ejemplo:

2xy²-6x²y-8xy = 2xy (y-3x-4)

Propiedades de la adición.

Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma o el total, por ejemplo:

5+4=9 o 4+5=9

Asociativa: La forma de agrupar más de dos sumandos no altera la suma o total, por ejemplo: 

(8+7) + 6= 21

8 + (7+5) = 21

Elemento neutro: Cualquier número que se le adicione un 0 el resultado es el mismo, ejemplo: 

9 + 0 = 0

0 + 9 = 9

Propiedad distributiba.

La propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma es aquella por la que de dos o más números, multiplicada por otro número, es igual a la suma de la multiplicación de cada término de la suma por el número. Ejemplo:

(3x² + 8)(3 - z) =  9x² - 3xz + 24 -8z.

Relaciones.

Complemento A1.

El compuesto de un número complemento A1 es su complemento A1, por ejemplo:

-210 con 5 digitos es 11101, su opuesto es 210.

120 con 5 digitos es 01100, su opuesto es -120.

En otras palabras el complemento A1 de un numero binario se obtiene combinando cada cero por 1 y viceversa. Se cambia cada bit del número por su complemento.

Complemento A2.

El complemento A2 de un número binario se obtiene tomando el complemento A1 y sumandole 1 al bit menos significativo.

Sistemas numéricos.

Son un conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para representar datos numéricos o cantidades.

Sistema decimal a binario.

La cantidad se divide entre dos. La cadena se jala desde el ultimo díjito (0 o 1).

Sistema decimal a octal.

Se divide entre 8.

Sistema decimal a hexadecimal.

Toda cantidad se divide entre 16 usando letras también.

 

Suma de binarios:

Reglas:

0 + 0= 0

0 + 1= 1

1 + 0= 1

1 + 1= 10 

Conjuntos.

Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación. Para denotar a los conjuntos se usan letras mayúsculas. Cuando un elemento x1  pertenece aun conjunto A se expresa de forma simbólica x1=A. En un caso de que un elemento no pertenezca a este mismo conjunto se utiliza la notación x1/A.

Existen 4 formas de enunciar a los conjuntos:

1. Por extención o numeración: Los elementos son encerrados entre llavez y separados por comas.

A= {x1, x2, x3, x4....xn}.

2. Por comprensión: Los elementos se determinan a través de una condición que se establece entre llaves. En este caso se emplea el símbolo | (tal que).

 A= {x | p(x) } = {x1, x2, x3... xn}

3. Diagrama de Venn: Son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o relaciones entre conjuntos. 

Diagrama de Venn.

Si cada elemento de un conjuto A es también un elemento del conjunto B. Significa que A esta incluido en B y se lee A es un subconjunto de B o A esta contenido en B. 
Si no todos los elementos de un conjunto de B o A esta contenido en B.
Si no todos los elementos de un cojunto A son elementos del del conjunto B se dice que A no es un subconjunto de B.

Cardinalidad.

Se define como el número de elementos que posee, se denota por medio de los símbolos n, #.

Conjuntos o nombres específicos.

Un conjunto vacío o nulo es aquel que no posee elementos, se denota por los siguientes símbolos: Ø ,{}. El conjunto vacío siempre forma parte de otro , así que es un subconjunto de cualquier conjunto, por ejemplo:

Ø={x|x Son los dinosaurios que viven en la actualidad}

{}={x|x Son los hombres mayores de 300 años}

Conjunto Universal.

Un conjunto Universal es aquel que contiene a todos los elementos, se denota con la letra u y gráficamente se le representa mediante un rectángulo.

Ejemplo:

u={x|x son los días de la semana}={lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}

A={x|x Son los días de la semana inglesa} = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes}.

Conjunto finito.

Es aquel en el que los elementos pueden ser contados, por ejemplo:

J={x|x es la cantidad de días del mes de Junio}

L={x|x es la cantidad de autos en el D.F.}

Conjunto infinito.

Es aquel cuyos elementos no pueden ser contados es decir, su cardinalidad no esta definida, por ejemplo:

M={1, 2, 3, 4....... ∞}

K={Es la cantidad de puntos en una línea}

Conjuntos iguales.

Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos y se denota con el símbolo de =. Por ejemlo:

R={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

S={x|x es un digito}

Desigualdad de conjuntos.

Dos conjuntos son desiguales si por lo menos difieren en un elemento, es decir, si no tienen los mismos elementos, se denota por el símbolo  ≠ 

D={x|x² = 4}

E= {-2, 2}

Conjuntos equivalentes

Dos conjuntos son equivalentes si tienen la misma cantidad de elementos, es decir, si poseen la misma cardinalidad, se denota por el símbolo ~, por ejemplo

W={x|x son las estaciones del año}

Z= {x|x Es un punto cardinal}

w~Z

Operaciones con conjuntos.

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos A con todos los elementos de B y se denota A∪ B.  Por ejemplo:

La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que también pertenecen a B y se denota como A ∩ B.

Dos conjuntos son ajenos, cuando su intersección es el conjunto vacío, es decir que no tienen nada en común. Ejemplo:

A∩ E= {}

A= {Mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandía}

E= {Limón, fresa, pera, mandarina, cereza}

*No se repiten los elementos*

El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal, es el conjunto de todos los elementos de u que no están en a  A y se denota como A'. Esto es: 

Inducción matemática.

La inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de preposiciones, o una preposición que depende de un parámetro que toma una infinidad de valores usualmente en el conjunto de los enteros naturales.
Ejemplo:

n=1
n!>=2n-1
1!>=2(1)-1  
1>=1                 *Verdadero*

n=3
n!=2n-1
6!=2(3)-1
6!=6-1
6=5        *Falso*

Preposiciones.

Lógica proposicional: Una preposición es una sentencia declarativa que es verdadera o falsa pero no ambas, por ejemplo:  La mañana es fría.
 Un girasol es amarillo.

Preposiciones compuestas: Una preposición que es invisible se conoce como preposición primitiva. Las sentencias derivadas de las primitivas y de varios conectores lógicos cómo: no, y, o, si... entonces, sí y sólo si, estas se conocen como preposiciones compuestas. Por ejemplo:-No puedes comer sopa.
-Los gatos son bonitos y juguetones.
-¿Comerás pan o galletas?
-Si limpias tu habitación entonces podrás salir a jugar.
-La bicicleta avanza si y sólo si tiene ruedas.

NO (~,-) Una sentencia que es modificada con el conectivo NO, es llamada la negación de la sentencia original.

Y (^) La conjunción de P, Q es denotada como P^Q. La conjunción es verdadera si al menos uno de sus elementos es verdadera sólo si P y Q son verdaderas.  

O (v) La disyunción de P, Q es denotada como PvQ. La disyunción es verdadra si al menos uno de sus elementos es verdadero. 

Implicación (→)  Par dos declaraciones P → Q, decimos que P implica a Q y se escribe P→Q. La preposición P es llamada la hipotesis o antecedente de la implicación. Q es llamada conclusión o consecuente de la implicación.

Si o sólo só o doble implicación (↔)  Otra declaración común en matemáticas es P si sóloy si Q, o simbólicamente ↔. Esto es llamado a la equivalencia de dos preposiciones. Si P entonces Q y si Q entonces P. P es una condición y suficiente para P.

Ejemplo: 

Lógica, el lenguaje de las matemáticas.

Lógica es la resolución de problemas, diseñados de algoritmos y programación requieren un razonamiento lógico completo.

La lógica trata de métodos y el arte sistemático.